問題 を0以上の整数とし、数列 を次のように定める。 また、素数 を1つとり、 を で割った余りを とする。ただし、0を で割った余りは0とする。(1) 自然数 に対し、 は を で割った余りと一致することを示せ。(2) , の場合に、10以下のすべての自然数 に対し…

問題 を自然数(すなわち1以上の整数) の定数とする。白球と赤球があわせて1個以上入っている袋Uに対して、次の操作(＊)を考える。(＊) 袋Uから球を1個取り出し、 (i) 取り出した球が白球のときは、袋Uの中身が白球 個、赤球1個となるようにする。 (ii) 取り…

数列の範囲ではいろいろな漸化式の問題がありますが、漸化式について「これだけは知っていてほしい！」と思う知識をまとめてみました。どれか一つでも解けなかったら、しっかりと覚えて帰っていってください！ 等差数列の漸化式 例題 解答 等比数列の漸化式 …

問題 において、 とする。辺 上に点 と異なる点 があり、 とする。また、辺 の中点を、線分 と との交点を とする。このとき、次の問に答えよ。 (1) 内積 と の面積 を求めよ。 (2) を と を用いて表せ。 (3) の面積 を求めよ。 解答(1) とりあえず図をかく …

問題 横一列に並んだ6枚の硬貨に対して、以下の操作LとRを考える。L :さいころを投げて、出た目と同じ枚数だけ左端から順に効果の表と裏を反転する。 R :さいころを投げて、出た目と同じ枚数だけ右端から順に効果の表と裏を反転する。たとえば、表表裏表裏表…

問題 を自然数とし、放物線 を とする。このとき、次の問に答えよ。 (1)放物線上の点 における接線の傾きをとする。 を満たす をすべて求めよ。 (2)関数 の最大値を とする。 を満たす をすべて求めよ。 (3)放物線 と直線 で囲まれた図形の面積を とする。 …

問題 A,Bの2チームが試合をくり返し行い、先に3勝したチームを優勝とする。1回の試合でAチームが勝つ確率は、Bチームが勝つ確率は で、引き分けはないものとする。このとき、次の問に答えよ。 (1)優勝が決まるまでにBチームが少なくとも1勝する確率を求めよ…

問題 (1)A、B、C、D の 4 人が集まり、2 対 2 の組に分かれて遊ぶことになった。組み分けは A、B、C、D の順に硬貨を投げて決める。表が出たら赤組、裏が出たら白組とする。いずれかの組が 2 人とも決まった時点で残りの人の組も確定するから、全員が硬貨を…

問題 直線 が円 と放物線 の両方に接している。このとき、以下の問いに答えよ。 (1) とを求めよ。 (2)直線 と放物線 およびy軸とで囲まれた図形の面積を求めよ。 解答 はじめにグラフをかく(問題(1)) 放物線とか円とか、そういうグラフをかけそうなものが出…

教科書にはのっていないですが、計算が少し楽になる新たな公式を2つ紹介します。 公式 証明 証明をする前に、底の変換公式をおさえておきましょう。底の変換公式 (1)式の証明 (2)式の証明 問題 公式だけ見ても何のことかさっぱりだと思うので、具体的に問題…

問題 を満たす正の整数の組 をすべて求めよ。 解答 どこから手をつけるといいか分からなくなりそうですが、とりあえずいじれそうなところからいじります。 そして問題文より、 となります。 分かっていることを式で表す が3の何乗かは分かりませんが、だから…

問題 自然数nに対して、を13で割った余りをとおく。は0から12までの整数である。以下の問いに答えよ。(1) は を13で割った余りに等しいことを示せ。(2) を求めよ。(3)以下の3条件を満たす自然数Nを求めよ。 (i) Nは十進法で表記したとき6桁となる。 (ii) Nを…

問題 が素数となるような整数nをすべて求めよ。 解答 具体例を出す 「素数といえばこの公式がある！」って思いつく式はなく、とっつきにくい問題かもしれません。答えに結びつくかは分かりませんが、とりあえずnに適当な数を代入して、具体例をいくつか出し…

問題 数列{}が次のように帰納的に定められている。 (1) を求めよ。 (2)nが奇数の場合と偶数の場合それぞれについて、 を で表せ。 (3)を3で割ったときの余りを求めよ。 解答 ゴリ押しできるならゴリ押して解く(問題(1)) シュッとした綺麗な解答例はあるかも…

等差数列の一般項・和の公式、教科書には公式が載っています。 あなたがもしこれらを文字の羅列として記憶しているだけなら、この記事をぜひ読んでほしい。あれらは記憶しないでよい公式だからです。 あの公式たちを記憶しなくて済む方法を伝授します。 今か…