問題 以下の命題A, B それぞれに対し、その真偽を述べよ。また、真ならば証明を与え、偽ならば判例を与えよ。命題A: が正の整数ならば、 が成り立つ。 命題B: 整数 が をみたすならば、 が成り立つ。 解答(命題A) 問題の式を整理すると、 となります。これを…

JMOというのは、「日本数学オリンピック」のことです。 毎年開催されていて、だいたい10問ちょっとの問題が出されます。 後半の問題は正直なところ自分も解けないような問題が並んでいたりするのですが、今回は序盤にある問題を1つ紹介します。 問題 を で割…

問題 を満たす正の整数の組 をすべて求めよ。 解答 どこから手をつけるといいか分からなくなりそうですが、とりあえずいじれそうなところからいじります。 そして問題文より、 となります。 分かっていることを式で表す が3の何乗かは分かりませんが、だから…

問題 自然数nに対して、を13で割った余りをとおく。は0から12までの整数である。以下の問いに答えよ。(1) は を13で割った余りに等しいことを示せ。(2) を求めよ。(3)以下の3条件を満たす自然数Nを求めよ。 (i) Nは十進法で表記したとき6桁となる。 (ii) Nを…

問題 が素数となるような整数nをすべて求めよ。 解答 具体例を出す 「素数といえばこの公式がある！」って思いつく式はなく、とっつきにくい問題かもしれません。答えに結びつくかは分かりませんが、とりあえずnに適当な数を代入して、具体例をいくつか出し…

問題 数列{}が次のように帰納的に定められている。 (1) を求めよ。 (2)nが奇数の場合と偶数の場合それぞれについて、 を で表せ。 (3)を3で割ったときの余りを求めよ。 解答 ゴリ押しできるならゴリ押して解く(問題(1)) シュッとした綺麗な解答例はあるかも…