千葉大学 2010 医系第4問(整数の性質)

問題

$3^n=k^3+1$ を満たす正の整数の組 $(k, n)$ をすべて求めよ。

解答

どこから手をつけるといいか分からなくなりそうですが、とりあえずいじれそうなところからいじります。
$k^3+1=(k+1)(k^2-k+1)$
そして問題文より、 $3^n=(k+1)(k^2-k+1)$ となります。

分かっていることを式で表す

$(k+1)$ が3の何乗かは分かりませんが、 $k≧1$ だから、 $(k+1)$ の値は $k+1=3, 9, 27, ...$ のどれか。
とりあえず3の倍数であることは間違いなさそうです。
ということで $k+1=3m$ とおいて進めてみます(mは自然数)。何か進展があるかもしれません。もしかしたら何も意味のない式変形になるかもしれませんが、一旦やってみましょう。
$3^n=(k+1)(k^2-k+1)$ より、 $k^2-k+1$ は3の累乗( $=3^x$ の形)で表せなければいけないことを頭に置いておきながら計算します。

計算パート...(とばして次の見出しから見てok)

$k=3m-1$ より、
$k^2-k+1=(3m-1)^2-(3m-1)+1\\=(9m^2-6m+1)-3m+2\\=9m^2-9m+3\\=3(3m^2-3m+1)\\=3(3(m^2-m)+1)$

計算パートおわり、 $3(3(m^2-m)+1)=3^x$ について考える

ということで、計算結果から、 $3(3(m^2-m)+1)$ は3の累乗の形で表せないといけません。
ということは、それを3で割っただけの $3(m^2-m)+1$ も3の累乗で表されるはずです。
しかし、 $3(m^2-m)+1$ を3で割った余りは1。
すなわち、 $3(m^2-m)+1$ は3の倍数ではありません。

3の累乗で表されるが、3の倍数ではない数字、、？

その数字は1です。1は3の倍数ではありません。
しかし、 $1=3^0$ なので3の累乗で表せています。
ほとんど答えが出ました、あとは少し計算をするだけ。
$m^2-m=m(m-1)=0$
したがって、 $m=1$ となる。(mは自然数なので、 $m\neq0$ )
$m=1$ より、 $k=3m-1=2$
題より、 $3^n=k^3+1=9$ となり、 $n=2$
ゆえに、 $(k, n)=(2, 2)$