東京大学 2014 文系第2問 (総合問題)

問題

$a$ を自然数(すなわち1以上の整数) の定数とする。白球と赤球があわせて1個以上入っている袋Uに対して、次の操作(＊)を考える。

(＊) 袋Uから球を1個取り出し、
(i) 取り出した球が白球のときは、袋Uの中身が白球 $a$ 個、赤球1個となるようにする。
(ii) 取り出した球が赤球のときは、その球を袋Uへ戻すことなく、袋Uの中身はそのままにする。

はじめに袋Uの中に、白球が $a+2$ 個、赤球が1個入っているとする。この袋Uに対して操作(＊)を繰り返し行う。
たとえば、1回目の操作で白球が出たとすると、袋Uの中身は白球 $a$ 個、赤球1個となり、さらに2回目の操作で赤球が出たとすると、袋Uの中身は白球 $a$ 個のみとなる。
$n$ 回目に取り出した球が赤球である確率を $p_n$ とする。ただし、袋Uの中の個々の球の取り出される確率は等しいものとする。

(1) $p_1$ , $p_2$ を求めよ。

(2) $n≧3$ に対して $p_n$ を求めよ。

解答(1)

$p_1$ は、白球 $a+2$ 個と赤球1個の中から赤球を選ぶ確率なので、
$\displaystyle p_1=\frac{1}{a+3}$

$p_2$ は、最初に袋U(白球 $a+2$ 個, 赤球1個) から白球を取り出し、次に袋U(白球 $a$ 個, 赤球1個) から赤球を取り出す確率なので、
$\displaystyle p_2=\frac{a+2}{a+3}\cdot\frac{1}{a}=\frac{a+2}{a(a+3)}$

解答(2)

(問題再掲) $n≧3$ に対して $p_n$ を求めよ。

具体例を出して考える

$n=3$ のときについて考えてもいいのですが、問題(1)で既に $n=2$ のときについて計算しているのでそれを参考にしましょう。
$p_2$ を計算するとき、1回目で白球が出て、2回目で赤球が出る確率を出したのでした。
同じようにすると、 $p_{n+1}$ は、 $n$ 回目で白球が出て、 $(n+1)$ 回目で赤球が出る確率になります。
これを式で表すと、次のようになります。
$\displaystyle p_{n+1}=(1-p_n)\cdot\frac{1}{a+1}$

漸化式ですね。この式から一般項を出せればおしまいです。

計算パート...

特性方程式は、 $\displaystyle x=(1-x)\cdot\frac{1}{a+1}$
これを解くと、 $\displaystyle x=\frac{1}{a+2}$
漸化式を変形して、
$\displaystyle p_{n+1}-\frac{1}{a+2}=-\frac{1}{a+1}(p_{n}-\frac{1}{a+2})$

よって、数列 $\displaystyle \{p_n-\frac{1}{a+2}\}$ は、
初項 $\displaystyle p_1-\frac{1}{a+2}=\frac{1}{a+3}-\frac{1}{a+2}=-\frac{1}{(a+2)(a+3)}$
公比が $\displaystyle -\frac{1}{a+1}$ の等比数列である。