大阪大学 2015 文系第2問 (数Ⅱまとめ)

問題

直線 $l:y=kx+m$ $(k>0)$ が円 $C_1:x^2+(y-1)^2=1$ と放物線 $\displaystyle C_2:y=-\frac{1}{2}x^2$ の両方に接している。このとき、以下の問いに答えよ。
(1) $k$ と $m$ を求めよ。
(2)直線 $l$ と放物線 $C_2$ およびy軸とで囲まれた図形の面積を求めよ。

解答

はじめにグラフをかく(問題(1))

放物線とか円とか、そういうグラフをかけそうなものが出てきたら、真っ先にグラフをかいてしまいましょう。

(PCのこと疎くて手書きのものになってしまいすみません...)

直線 $l$ が放物線 $\displaystyle C_2:y=-\frac{1}{2}x^2$ に接していることから...(問題(1))

直線 $l$ と放物線 $C_2$ の接点を $\displaystyle (t, -\frac{1}{2}t^2)$ とおいて、tを使ったままでいいので接線の方程式を出してみます。
$\displaystyle y=-\frac{1}{2}x^2$ より、 $y'=-x$
接点の $x$ 座標は $t$ なので、接線の傾きは $-t$ 。
また、接線は点 $\displaystyle (t, -\frac{1}{2}t^2)$ を通るから、接線の方程式は $t$ を使って次のようにかける。
$\displaystyle y=-tx+\frac{1}{2}t^2$

直線が円 $C_1$ と接することを式でどう表すか(問題(1))

解き方は主に2通りあります。
1つは、先ほど出した $\displaystyle y=-tx+\frac{1}{2}t^2$ を $C_1:x^2+(y-1)^2=1$ に代入していく方法。
もう1つは、直線 $l$ と点 $(0, 1)$ の距離が $1$ であることを使う方法。
どちらでも構いません。今回は後者の「点と直線の距離」の公式を使う方法で進めます。

点と直線の距離の公式から $k, m$ の値を求める(問題(1))

点と直線の距離の公式
点 $(x_0, y_0)$ と直線 $ax+by+c=0$ の距離 $d$ は、
$\displaystyle d=\frac{|ax_0+by_0+c|}{\sqrt{a^2+b^2}}$

この公式を使って計算していきましょう。
直線 $\displaystyle y=-tx+\frac{1}{2}t^2$ を変形して、
$2tx+2y-t^2=0$
この直線と点 $(0, 1)$ の距離が1なので、先ほど書いた公式を使って、
$\displaystyle 1=\frac{|2t\cdot0+2\cdot1-t^2|}{\sqrt{(2t)^2+2^2}}$
式ができました。あとはtについて解くだけです。

計算パート...(とばして次の見出しから見てok)

$\displaystyle 1=\frac{|2-t^2|}{\sqrt{4t^2+4}}$
分母を払って、
$\sqrt{4t^2+4}=|2-t^2|$
両辺を2乗して、
$4t^2+4=(2-t^2)^2$
整理して、 $t^4-8t^2=0$
因数分解すると、 $t^2(t^2-8)=0$
よって、 $t=0, ±2\sqrt{2}$

不適な解がないかどうか吟味する(問題(1))

最初にのせた画像には、直線は1つしか引いていません。
これは、 $k>0$ 、すなわち直線の傾きが正であったからです。
図を見ればわかる通り、接点のx座標は負になります。
よって、 $t=0, 2\sqrt{2}$ の2つの解は不適。
$t=-2\sqrt{2}$ だけが残ります。
直線 $l$ は、 $\displaystyle y=-tx+\frac{1}{2}t^2$ なので、
ここに $t=-2\sqrt{2}$ を代入しておしまい。
$\displaystyle y=2\sqrt{2}x+4$
以上より、 $k=2\sqrt{2}, m=4$

計算を工夫する(問題(2))

求めたい面積は画像の斜線部分ですね。

上側の関数が $y=2\sqrt{2}x+4$ 、下側の関数が $\displaystyle y=-\frac{1}{2}x^2$ なので、求める面積Sは、
$\displaystyle \begin{eqnarray}S&=&\int_{-2\sqrt{2}}^0 (2\sqrt{2}x+4-(-\frac{1}{2}x^2))dx\\&=&\int_{-2\sqrt{2}}^0 (2\sqrt{2}x+4+\frac{1}{2}x^2)dx\end{eqnarray}$
ここで計算を工夫します。
$\displaystyle y=2\sqrt{2}x+4$ と $\displaystyle y=-\frac{1}{2}x^2$ は、 $x=-2\sqrt{2}$ で接していることを使って変形していきます。
$\displaystyle \begin{eqnarray} S&=&\frac{1}{2}\int_{-2\sqrt{2}}^0 (x+2\sqrt{2})^2dx\\&=&\frac{1}{6} [(x+2\sqrt{2})^3]_{-2\sqrt{2}}^0\\&=&\frac{8\sqrt{2}}{3}\end{eqnarray}$