早稲田大学 2017 人間科学学部 第1問 (場合の数・確率)
問題
(1)A、B、C、D の 4 人が集まり、2 対 2 の組に分かれて遊ぶことになった。組み分けは A、B、C、D の順に硬貨を投げて決める。表が出たら赤組、裏が出たら白組とする。いずれかの組が 2 人とも決まった時点で残りの人の組も確定するから、全員が硬貨を投げるとは限らない。いま,A は硬貨を投げ終えたものとする。ここで、B、C、D のそれぞれが A と同じ組になる確率を考えよう。次の 1~5 のうち、正しい記述はどれか。
1: A が赤組か白組かにより、B、C、D のうち誰が A と同じ組になる確率が大きいかは異なる.
2: A と同じ組になる確率は、B が C、D より大きい。
3: A と同じ組になる確率は、C が B、D より大きい。
4: A と同じ組になる確率は、D が B、C より大きい。
5: A と同じ組になる確率は、B、C、D の 3 人とも同じである。
(2), , のとき、 は何桁の整数か。また、 の最高位の数字を求めよ。
解答(1)
B, C, D それぞれAと同じ組になる確率を計算しましょう。
Aが表裏どちらを出したのかは分からないですが、一旦Aは表を出して赤組になったとして進めます。
Bが赤組になる確率
Bが赤組になるのは、Bが表を出したとき。
よって、
Cが赤組になる確率
Cが赤組になるのは、Bが裏を出して、Cが表を出したとき。
よって、
Dが赤組になる確率
Dが赤組になるのは、Bが裏を出して、Cが裏を出したとき。
よって、
Aが裏を出して白組になったときは...?(問題(1))
Aが裏を出して白組になった場合、また下に計算を書いてもいいのですが、先ほどと全く同じ計算になりますね。
ということで、Aと同じ組になる確率は、Bが、Cが、Dが
答えは2番になります。
解答(2)
桁数を求めるときはを使う(問題(2))
例えば3桁の整数Aは、100以上1000未満なので、
10を底とする対数をとって、
となります。この性質を使っていきます。
ということで、 は59桁の整数です。
最高位の数字を求める(問題(2))
「解き方を習ったことがない!」とか言ってしまいそうですねw
見たことない問題は、具体例を出して法則を見つけていきます。
例えば10を底とする300の対数は、
となります。
同じように、
となるので、最高位の数が2で3桁の数R(例えば258とか)に関して次の不等式が成り立ちます。
で、
さらに、
以上より、
よって、最高位の数は6。
まとめ
いかがだったでしょうか。比較的簡単な問題なので、解けるようにしたいところですね。
最後の最高位の数を求めるところであったように、文字がたくさんある・数字が大きすぎる問題では、具体例を出して法則を見つけるのは大切です。
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