対数logに関する新公式2つ - mathpipoの高校数学

教科書にはのっていないですが、計算が少し楽になる新たな公式を2つ紹介します。

公式

$\log_{a}{b}\cdot \log_{b}{c}=\log_{a}{c}\tag{1}$
$\displaystyle \log_{a^n}{b}=\frac{1}{n}\log_{a}{b}\tag{2}$

証明

証明をする前に、底の変換公式をおさえておきましょう。

底の変換公式
$\displaystyle \log_{a}{b}=\frac{\log_{c}{b}}{\log_{c}{a}}$

(1)式の証明

$\displaystyle \begin{eqnarray}(左辺)&=&\log_{a}{b}\cdot \log_{b}{c}\\&=&\log_{a}{b}\cdot \frac{\log_{a}{c}}{\log_{a}{b}}\\&=&\log_{a}{c}=(右辺)\end{eqnarray}$

(2)式の証明

$\displaystyle \begin{eqnarray}(左辺)&=&\log_{a^n}{b}=\frac{\log_{a}{b}}{\log_{a}{a^n}}=\frac{\log_{a}{b}}{n}\\&=&\frac{1}{n}\log_{a}{b}=(右辺)\end{eqnarray}$