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京都大学 2018 理系第2問(整数の性質)

整数の性質問題

問題

$n^3-7n+9$ が素数となるような整数nをすべて求めよ。

解答

具体例を出す

「素数といえばこの公式がある！」って思いつく式はなく、とっつきにくい問題かもしれません。

答えに結びつくかは分かりませんが、とりあえずnに適当な数を代入して、具体例をいくつか出してみましょう。

$f(n)=n^3-7n+9$ とおいて、

$f(-1)=(-1)^3-7\times(-1)+9=15$

$f(0)=0^3-7\times0+9=9$

$f(1)=1^3-7\times1+9=3$

$f(2)=2^3-7\times2+9=3$

$f(3)=3^3-7\times3+9=9$

具体例を5つ出しました。

この5つの計算結果を見て、何か法則がないかを探します。5つともすべて3の倍数になっていますね。たまたまではなく、きっとどんなnを代入しても3の倍数になるのでしょう。今からそれを証明しにいきます。

$f(n)$ が3の倍数であることの証明

「3の倍数であることを示せ」と言われると、これをしておけば間違いないという解法があります。

整数kをつかって、 $n=3k-1$ , $n=3k$ , $n=3k+1$ と分類し、それぞれで3の倍数であることを証明するのです。

実際にやってみましょう。

$\begin{eqnarray}f(3k-1)&=&(3k-1)^3-7(3k-1)+9\\&=&(27k^3-27k^2+9k-1)-(21k-7)+9\\&=&27k^3-27k^2-12k+15\\&=&3(9k^3-9k^2-4k+5)\end{eqnarray}$

$\begin{eqnarray}f(3k)&=&(3k)^3-7(3k)+9\\&=&27k^3-21k+9\\&=&3(9k^3-7k+3)\end{eqnarray}$

$\begin{eqnarray}f(3k+1)&=&(3k+1)^3-7(3k+1)+9\\&=&(27k^3+27k^2+9k+1)-(21k+7)+9\\&=&27k^3+27k^2-12k+3\\&=&3(9k^3+9k^2-4k+1)\end{eqnarray}$

これで $f(n)$ が3の倍数であることが証明されました。

$f(n)$ が素数なので...

$f(n)$ は素数であり、先ほど証明したように3の倍数です。

$f(n)$ の値は3であることがわかります。

3次方程式 $f(n)=n^3-7n+9=3$ を解く

$n^3-7n+6=0$

n=1を代入したとき、この等式が成り立っていることがわかります。剰余の定理より、 $n^3-7n+6=0$ は $(n-1)$ を因数に持ちます。因数分解したときに $(n-1)$ が入ってくるということです。割り算をしてみると、

$n^3-7n+6\div(n-1)\\=n^2+n-6\\=(n+3)(n-2)$

となります。よって、 $n^3-7n+6$ を因数分解すると、

$n^3-7n+6=(n+3)(n-1)(n-2)$

ゆえに、 $n^3-7n+6=0$ を解くと、 $n=-3, 1, 2$ となります。

まとめ

いかがだったでしょうか？この問題を解くポイントは2つありました。

1つ目は、いくつかの具体例を出してみるところでした。このおかげで $f(n)$ が3の倍数であることがわかりました。

2つ目は、 $f(n)$ が3の倍数であることを証明するとき、整数kをつかって $n=3k-1, 3k, 3k+1$ と分類するところでした。

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