漸化式のまとめ - mathpipoの高校数学

数列の範囲ではいろいろな漸化式の問題がありますが、漸化式について「これだけは知っていてほしい！」と思う知識をまとめてみました。どれか一つでも解けなかったら、しっかりと覚えて帰っていってください！

等差数列の漸化式
- 例題
- 解答
等比数列の漸化式
- 例題
- 解答
階差数列の漸化式
- 例題
- 解答
隣接2項間の漸化式
- 例題
- 解答
隣接3項間の漸化式
- 例題
- 解答
逆数を取るタイプの漸化式
- 例題
- 解答
指数で割るタイプの漸化式
- 例題
- 解答
まとめ

等差数列の漸化式 $a_{n+1}=a_n+d$

例題

$a_{n+1}=a_n+5$ , $a_1=3$ のとき、一般項 $a_n$ を求めよ。

解答

数列 $\{a_n\}$ は、初項3, 公差5 の等差数列なので、その一般項は、
$a_n=5n-2$

等比数列の漸化式 $a_{n+1}=ra_n$

例題

$a_{n+1}=2a_n$ , $a_1=3$ のとき、一般項 $a_n$ を求めよ。

解答

数列 $\{a_n\}$ は、初項3, 公比2 の等比数列なので、その一般項は、
$a_n=3\cdot2^{n-1}$

階差数列の漸化式 $a_{n+1}=a_n+f(n)$

例題

$a_{n+1}=a_n+3n+2$ , $a_1=5$ のとき、一般項 $a_n$ を求めよ。

解答

$a_{n+1}-a_n=3n+2$ より、数列 $\{a_n\}$ の階差数列 $\{b_n\}$ の一般項は、
$b_n=3n+2$
よって、 $n≧2$ のとき、
$\displaystyle\begin{eqnarray} a_n&=&a_1+\sum_{k=1}^{n-1}b_k\\\displaystyle &=&5+\sum_{k=1}^{n-1}(3k+2)\\\displaystyle &=&5+3\cdot\frac{1}{2}n(n-1)+2(n-1)\\&=&\frac{3}{2}n^2+\frac{1}{2}n+3\end{eqnarray}$
上の一般項は、 $n=1$ のときにも成り立つ。
したがって、すべての自然数n について、
$\displaystyle a_n=\frac{3}{2}n^2+\frac{1}{2}n+3$

隣接2項間の漸化式 $a_{n+1}=pa_n+q$

例題

$a_{n+1}=5a_n-4$ , $a_1=3$ のとき、一般項 $a_n$ を求めよ。

解答

特性方程式は、 $x=5x-4$
(このタイプの漸化式の場合、 $a_{n+1}→x$ , $a_n→x$ と置き換えて解く。)
これを解くと、 $x=1$
$a_{n+1}-x=5(a_n-x)$ となることが分かっています(証明略)。よって、
$a_{n+1}-1=5(a_n-1)$
数列 $\{a_n-1\}$ は、初項 $a_1-1=2$ , 公比5 の等比数列なので、
$a_n-1=2\cdot5^{n-1}$
よって、
$a_n=1+2\cdot5^{n-1}$

隣接3項間の漸化式 $a_{n+2}+pa_{n+1}+qa_n=0$

例題

$a_{n+2}+3a_{n+1}+2a_n=0$ , $a_1=1$ , $a_2=5$ のとき、一般項 $a_n$ を求めよ。

解答

特性方程式は、 $x^2+3x+2=0$
(このタイプの漸化式の場合、 $a_{n+2}→x^2$ , $a_{n+1}→x$ , $a_n→1$ と置き換える)
これを解くと、 $x=-1, -2$
特性方程式の解が $x=α, β$ のとき、
$a_{n+2}-αa_{n+1}=β(a_{n+1}-αa_n)$
となることが分かっているので(証明略),

$a_{n+2}+a_{n+1}=-2(a_{n+1}+a_n)\tag{1}$
$a_{n+2}+2a_{n+1}=-(a_{n+1}+2a_n)\tag{2}$

(1)式より、数列 $\{a_{n+1}+a_n\}$ は初項 $a_2+a_1=6$ , 公比 $-2$ の等比数列なので、
$a_{n+1}+a_n=6\cdot(-2)^{n-1}\tag{3}$
(2)式より、数列 $\{a_{n+1}+2a_n\}$ は初項 $a_2+2a_1=7$ , 公比 $-1$ の等比数列なので、
$a_{n+1}+2a_n=7\cdot(-1)^{n-1}\tag{4}$

(4)-(3)より、
$a_n=7\cdot(-1)^{n-1}-6\cdot(-2)^{n-1}\tag{5}$

逆数を取るタイプの漸化式

例題

$\displaystyle a_{n+1}=\frac{a_n}{4a_n+3}$ , $a_1=-1$ のとき、一般項 $a_n$ を求めよ。

解答

逆数をとって、
$\displaystyle \frac{1}{a_{n+1}}=\frac{4a_n+3}{a_n}=4+\frac{3}{a_n}$
ここで、 $\displaystyle b_n=\frac{1}{a_n}$ とおくと、
$\displaystyle b_{n+1}=4+3b_n$
この式を変形すると(計算方法は「隣接2項間の漸化式」を参照)
$b_{n+1}+2=3(b_n+2)$
よって、数列 $\{b_n+2\}$ は初項 $b_1+2=1$ , 公比3 の等比数列なので、
$b_n+2=3^{n-1}$
ゆえに、 $\displaystyle a_n=\frac{1}{b_n}=\frac{1}{3^{n-1}-2}$

指数 $r^n$ で割るタイプの漸化式 $a_{n+1}=pa_n+r^n$

例題

$a_{n+1}=4a_n+5^n$ , $a_1=0$ のとき、一般項 $a_n$ を求めよ。

解答

両辺を $5^n$ で割って、
$\displaystyle \frac{a_{n+1}}{5^n}=\frac{4a_n}{5^n}+1$
ここで、 $\displaystyle \frac{a_n}{5^n}=b_n$ とおくと、
$\displaystyle 5b_{n+1}=4b_n+1$
この式を変形すると、(計算方法は「隣接2項間の漸化式」を参照))
$5(b_{n+1}-1)=4(b_n-1)$
両辺を5で割って、
$\displaystyle b_{n+1}-1=\frac{4}{5}(b_n-1)$
したがって、数列 $\{b_n-1\}$ は初項 $b_1-1=-1$ , 公比 $\displaystyle \frac{4}{5}$ の等比数列なので、
$\displaystyle b_n-1=-\left(\frac{4}{5}\right)^{n-1}$
ゆえに、 $\displaystyle b_n=1-\left(\frac{4}{5}\right)^{n-1}$
よって、 $\displaystyle a_n=5^nb_n=5^n-5\cdot4^{n-1}$