山形大学 2016 人文学部第3問 (ベクトル)

問題

$△ABC$ において、 $AB=\sqrt{3}, BC=\sqrt{5}, AC=2$ とする。辺 $BC$ 上に点 $B$ と異なる点 $P$ があり、 $AP=\sqrt{3}$ とする。また、辺 $AB$ の中点を $Q$ 、線分 $AP$ と $CQ$ との交点を $R$ とする。このとき、次の問に答えよ。
(1) 内積 $\overrightarrow{AB}\cdot\overrightarrow{AC}$ と $△ABC$ の面積 $S$ を求めよ。
(2) $\overrightarrow{AP}$ を $\overrightarrow{AB}$ と $\overrightarrow{AC}$ を用いて表せ。
(3) $△AQR$ の面積 $T$ を求めよ。

解答(1)

とりあえず図をかく

内積 $\overrightarrow{AB}\cdot\overrightarrow{AC}$ を求める

定義より、
$\begin{eqnarray} \overrightarrow{AB}\cdot\overrightarrow{AC}&=&|\overrightarrow{AB}||\overrightarrow{AC}|cos∠BAC\\&=&2\sqrt{3}cos∠BAC\end{eqnarray}$

$△ABC$ で余弦定理を使って、
${BC}^2={AB}^2+{AC}^2-2{AB}\cdot{AC}cos∠BAC$

題より、 $AB=\sqrt{3}, BC=\sqrt{5}, AC=2$ なので、
$5=3+4-4\sqrt{3}cos∠BAC$

したがって、 $cos∠BAC$ の値は、
$\displaystyle cos∠BAC=\frac{2}{4\sqrt{3}}=\frac{1}{2\sqrt{3}}$

ゆえに、内積 $\overrightarrow{AB}\cdot\overrightarrow{AC}$ の値は、
$\overrightarrow{AB}\cdot\overrightarrow{AC}=2\sqrt{3}cos∠BAC=1$

$△ABC$ の面積 $S$ を求める

$S=\frac{1}{2}AB\cdot{AC}\cdot{sin∠BAC}=\sqrt{3}sin∠BAC$

ここで、 $\displaystyle cos∠BAC=\frac{1}{2\sqrt{3}}$ なので、

$\displaystyle \begin{eqnarray}{sin}^2∠BAC&=&1-{cos}^2∠BAC\\&=&1-\frac{1}{12}=\frac{11}{12}\end{eqnarray}$

$0<∠BAC<π$ より、 $0<{sin∠BAC}<1$ なので、

$\displaystyle {sin∠BAC}=\frac{\sqrt{11}}{2\sqrt{3}}$

ゆえに、
$\displaystyle S=\sqrt{3}{sin∠BAC}=\frac{\sqrt{11}}{2}$

解答(2)

(問題再掲)(2) $\overrightarrow{AP}$ を $\overrightarrow{AB}$ と $\overrightarrow{AC}$ を用いて表せ。

解答の方針

$AP=\sqrt{3}$ を使わないと解けない。
また、 $\overrightarrow{AB}$ と $\overrightarrow{AC}$ を使って表すので、
$\overrightarrow{AP}=t\overrightarrow{AB}+(1-t)\overrightarrow{AC}$ とおいてすすめるのが良さそう。
点 $P$ は辺BC上にあって、点 $B, C$ と一致しないから、 $0$ であることに注意。

計算パート...(とばして次の見出しから見てok)

$\begin{eqnarray}|\overrightarrow{AP}|^2=t^2|\overrightarrow{AB}|^2+2t(1-t)\overrightarrow{AB}\cdot{\overrightarrow{AC}}+(1-t)^2|\overrightarrow{AC}|^2\end{eqnarray}$

分かっている数字をすべて代入して、
$3=3t^2+2t(1-t)+4(1-t)^2$
$3=5t^2-6t^2+4$
$5t^2-6t+1=0$
$(5t-1)(t-1)=0$
$\displaystyle t=\frac{1}{5}, 1$

${0}<{t}<{1}$ なので、 $t=1$ は不適。
よって、 $\displaystyle t=\frac{1}{5}$ となるから、

$\displaystyle \overrightarrow{AP}=\frac{1}{5}\overrightarrow{AB}+\frac{4}{5}\overrightarrow{AC}$

解答(3)

(問題再掲)(3) $△AQR$ の面積 $T$ を求めよ。

問題できかれていることをすり替える

$△AQR$ の面積を直接求めようとすると、かなり難しそう、というか面倒くさそうな気がするのではないでしょうか。
$△ABC$ の面積は問題(1)で出しているので、それを使いましょう。
「 $△AQR$ は $△ABC$ の何倍か。」という問題を解くことにします。
この問題が解ければ、 $△ABC$ の面積がわかっているため、 $△AQR$ の面積も求められます。

底辺スライド作戦(例題)

突然ですが、下の図を見てください。

$MK=2$ , $KN=5$ です。
このとき、 $△LMK$ と $LMN$ の面積比を求めよ。という問題が出たら、
$MK=2$ , $MN=7$ なので、 $△LMK: △LMN=2:7$
となります。これを私は「底辺スライド」と呼んでいるのですが、これを使って解いていきます。

底辺スライド作戦(問題(3))

図を再掲します。

問題(2)の結果から、 $BP:PC=4:1$ を図に入れています。

$\displaystyle AQ=\frac{1}{2}AB$ なので、 $\displaystyle △AQR=\frac{1}{2}△ABR$

$AR:AP$ は今のところ分かっていません。
$k>0$ を満たす実数 $k$ を使って、 $△ABR=k△ABP$ とおきましょう。

$BP:BC=4:5$ なので、 $\displaystyle △ABP=\frac{4}{5}△ABC$

問題(1)より、 $\displaystyle △ABC=\frac{\sqrt{11}}{2}$

以上より、
$\displaystyle \begin{eqnarray}△AQR&=&\frac{1}{2}△ABR=\frac{1}{2}k△ABP\\&=&\frac{1}{2}k\left(\frac{4}{5}△ABC\right)=\frac{2}{5}k△ABC=\frac{\sqrt{11}}{5}k\end{eqnarray}$