山形大学 2016 人文学部 第2問 (微分・積分)
問題
を自然数とし、放物線 を とする。このとき、次の問に答えよ。
(1)放物線上の点 における接線の傾きをとする。 を満たす をすべて求めよ。
(2)関数 の最大値を とする。 を満たす をすべて求めよ。
(3)放物線 と直線 で囲まれた図形の面積を とする。 を満たすnをすべて求めよ。
(4) とする。放物線 の の部分と 軸および直線 で囲まれた図形の面積を とする。 を満たす をすべて求めよ。
解答(3)
と の交点の 座標を求める
グラフ2つで囲まれた面積を出すときは6分の1公式
6分の1公式
見出しにもあるように、グラフ2つで囲まれた面積を出すときは、6分の1公式が有効です。実際に計算してみましょう。
どうでしょうか。展開して素直に積分しても同じ結果は出ますが、こちらの方が計算量は圧倒的に少ないで済みますね。
問題に戻りましょう。題で とあったので、
両辺に6をかけて、
よって、
解答(4)
計算パート...(とばして次の見出しから見てok)
題より、 なので、
ここで、常に なので、
ゆえに、
まとめ
いかがだったでしょうか。
グラフが絡んでくる場合は、めちゃくちゃ丁寧でなくてもいいのでグラフをかきましょう。
問題(3)で使った「6分の1公式」はこの範囲で頻出です。計算ミスを減らすコツは、なるべく難しい複雑な計算をしない方向にもっていくこと。時間を節約できるうえに計算ミスを減らせるのでぜひ覚えていってくださいね。
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