九州大学 2013 文第3問 (場合の数・確率)

問題

横一列に並んだ6枚の硬貨に対して、以下の操作LとRを考える。

L :さいころを投げて、出た目と同じ枚数だけ左端から順に効果の表と裏を反転する。
R :さいころを投げて、出た目と同じ枚数だけ右端から順に効果の表と裏を反転する。

たとえば、表表裏表裏表と並んだ状態で操作 L を行うときに、3の目が出た場合は、裏裏表表裏表となる。以下、「最初の状態」とは硬貨が6枚とも表であることとする。

(1)最初の状態から操作 L を2回続けて行うとき、表が1枚となる確率を求めよ。
(2)最初の状態から L, R の順に操作を行うとき、表の枚数の期待値を求めよ。
(3)最初の状態から L, R, L の順に操作を行うとき、すべての硬貨が表となる確率を求めよ。

解答(1)

考え方(他のを思いついたらそれでok)

操作 L をすると、左端の硬貨は必ず操作の影響を受けて反転する。
操作 L を2回すると、左端の硬貨は2度反転する。
すなわち、操作 L を2度終えたあと、左端の硬貨は必ず表になる。
操作 L を2度終えて表が1枚となるとき、左端の硬貨のみが表で、それ以外の硬貨は裏になる。
こうなるのは、出たさいころの目が 1 と 6 のセットのときだけ。

全事象と求めるパターンを求める

全事象は、 $6^2=36$ で36通り。
また、さいころの目が1と6のセットになるのは、2通り。((1, 6)と(6, 1)で2通り)
よって、操作 L を2回続けて行うとき、表が1枚となる確率は、
$\displaystyle \frac{2}{36}=\frac{1}{18}$

解答(2)

よく分からなくなったらとりあえず具体例

パッとしないので、いくつか具体例を出してみましょう。
さいころの目が 3, 2 の順に出たとき、裏裏裏表裏裏となり、表の硬貨は1枚。
さいころの目が 3, 3 の順に出たとき、裏裏裏裏裏裏となり、表の硬貨は0枚。
さいころの目が 3, 4 の順に出たとき、裏裏表裏裏裏となり、表の硬貨は1枚。
L で出た目を固定して数えると、そんなに時間がかかるカウンティングではなさそうなのが分かります。
テクニカルに解けるならそうしますが、私はそんなもの思いつかなかったので全部数えました。
数えたのが下の図です。

あとは期待値の計算ですね。
$\displaystyle 0\cdot\frac{5}{36}+1\cdot\frac{10}{36}+2\cdot\frac{8}{36}+3\cdot\frac{6}{36}+4\cdot\frac{4}{36}+5\cdot\frac{2}{36}+6\cdot\frac{1}{36}=\frac{76}{36}=\frac{19}{9}$

ということで、答えは $\displaystyle \frac{19}{9}$ となります。

解答(3)

そろそろお気付きでしょうか。この L や R という操作は順序の交換をしても結果は変わりません。
問題(2) で図をかきました、あの図を見れば納得できると思います。

右端のコインは R の操作の影響で必ず反転する。
操作の順序を変えて最初に操作 R をすると、右端のコインは反転して裏になる。
右端のコインを表にしないといけないので、次の操作 L で出るさいころの目を6とする。
最初の操作 R で出たさいころの目が4だったら...？
最初の状態: 表表表表表表
R(操作1回目): 表表裏裏裏裏
L(操作2回目): 裏裏表表表表
となります。最後の操作 L ではさいころの目は2が出ないといけないとわかります。

上で書いたのをまとめると、こんな感じでしょうか。
1回目(操作R)でさいころの目 $a$ を出す。
2回目(操作L)でさいころの目6を出す。
3回目(操作L)でさいころの目 $6-a$ を出す。

あとは数え上げるだけ。(1回目, 2回目, 3回目)として、
(1, 6, 5), (2, 6, 4), (3, 6, 3), (4, 6, 2), (5, 6, 1)
本当の操作は1回目から順に、L, R, L でした。
なので、こうなります。
(6, 1, 5), (6, 2, 4), (6, 3, 3), (6, 4, 2), (6, 5, 1)
(5, 1, 6), (4, 2, 6), (3, 3, 6), (2, 4, 6), (1, 5, 6)
の10通り。
全事象は、 $6^3=216$ で216通り。
よって、求める確率は、
$\displaystyle \frac{10}{216}=\frac{5}{108}$

まとめ

いかがだったでしょうか。
問題(2)以降、少し難しめの問題だったかもしれません。
ここに書いてあるのはあくまで一例で、他の解き方を思いついたならそれを優先してください。

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