2018-09-19

山形大学 2016 人文学部第2問 (微分・積分)

問題

$n$ を自然数とし、放物線 $y=-x^2+nx$ を $C$ とする。このとき、次の問に答えよ。
(1)放物線 $C$ 上の点 $(1, n-1)$ における接線の傾きを $a$ とする。 $0≦a≦3$ を満たす $n$ をすべて求めよ。
(2)関数 $y=-x^2+nx$ の最大値を $M$ とする。 $1≦M≦5$ を満たす $n$ をすべて求めよ。
(3)放物線 $C$ と直線 $y=-x$ で囲まれた図形の面積を $S$ とする。 $S≦36$ を満たすnをすべて求めよ。
(4) $n≧7$ とする。放物線 $C$ の $x≧6$ の部分と $x$ 軸および直線 $x=6$ で囲まれた図形の面積を $T$ とする。 $T≦72$ を満たす $n$ をすべて求めよ。

解答(1)

$y=-x^2+nx$ の両辺を $x$ で微分して、

$y'=-2x+n$

これを使って、放物線 $C$ の $x=1$ における接線の傾きは、

$y'=-2\cdot1+n=n-2$

よって、 $a=n-2$

題より、 $0≦n-2≦3$ を満たすnの値を求めると、

$n=2, 3, 4, 5$

解答(2)

$y=-x^2+nx$ は上に凸である放物線だから、頂点の $y$ 座標が最大値Mとなる(下のグラフ参照)。

$\displaystyle y=-x^2+nx=-\left(x-\frac{1}{2}n\right)^2+\frac{1}{4}n^2$

と変形すると、 $\displaystyle M=\frac{1}{4}n^2$ とわかる。

題より、 $\displaystyle 1≦\frac{1}{4}n^2≦5$

両辺に4をかけて、 $4≦n^2≦20$

よって、 $n=2, 3, 4$

解答(3)

とりあえず図をかく

$y=-x$ と $y=-x^2+nx$ の交点の $x$ 座標を求める

$-x=-x^2+nx$

$x^2-(n+1)x=0$

$x(x-(n+1))=0$

$x=0, n+1$

グラフ2つで囲まれた面積を出すときは6分の1公式

6分の1公式
$\displaystyle \int_{a}^{b}(x-a)(x-b)dx=-\frac{1}{6}(b-a)^3$

見出しにもあるように、グラフ2つで囲まれた面積を出すときは、6分の1公式が有効です。
実際に計算してみましょう。

$\displaystyle \begin{eqnarray} S&=&\int_{0}^{n+1}\{(-x^2+nx)-(-x)\}dx=\int_{0}^{n+1}\{-x^2+(n+1)x\}dx\\&=&-\int_{0}^{n+1}x\{x-(n+1)\}dx\\&=&\frac{1}{6}\{(n+1)-0\}^3=\frac{1}{6}(n+1)^3\end{eqnarray}$

どうでしょうか。展開して素直に積分しても同じ結果は出ますが、こちらの方が計算量は圧倒的に少ないで済みますね。
問題に戻りましょう。題で $S≦36$ とあったので、

$\displaystyle \frac{1}{6}(n+1)^3≦36$

両辺に6をかけて、

$(n+1)^3≦216$

よって、 $n=1, 2, 3, 4, 5$

解答(4)

とりあえず図をかく

特にひねって計算することもなさそうです。ただ紙と向かい合って手を動かすのみです。

計算パート...(とばして次の見出しから見てok)

$\displaystyle \begin{eqnarray} T&=&\int_{6}^{n}(-x^2+nx)dx\\&=&\left[-\frac{1}{3}x^3+\frac{n}{2}x^2\right]_{6}^{n}\\&=&\left(-\frac{1}{3}n^3+\frac{n}{2}\cdot{n^2}\right)-\left(-\frac{1}{3}\cdot6^3+\frac{n}{2}\cdot6^2\right)\\&=&\left(-\frac{1}{3}n^3+\frac{1}{2}n^3\right)-(-72+18n)\\&=&\frac{1}{6}n^3-18n+72\end{eqnarray}$

題より、 $T≦72$ なので、
$\displaystyle \frac{1}{6}n^3-18n+72≦72$

$\displaystyle \frac{1}{6}n^3-18n≦0$

$\displaystyle \frac{1}{6}n(n^2-108)≦0$

ここで、常に $n>7>0$ なので、 $n^2-108≦0$
ゆえに、 $n=7, 8, 9, 10$

まとめ

いかがだったでしょうか。
グラフが絡んでくる場合は、めちゃくちゃ丁寧でなくてもいいのでグラフをかきましょう。
問題(3)で使った「6分の1公式」はこの範囲で頻出です。計算ミスを減らすコツは、なるべく難しい複雑な計算をしない方向にもっていくこと。時間を節約できるうえに計算ミスを減らせるのでぜひ覚えていってくださいね。

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2018-09-16

山形大学 2016 人文学部第1問 (場合の数・確率)

問題

A,Bの2チームが試合をくり返し行い、先に3勝したチームを優勝とする。1回の試合でAチームが勝つ確率は $\displaystyle \frac{2}{3}$ 、Bチームが勝つ確率は $\displaystyle \frac{1}{3}$ で、引き分けはないものとする。このとき、次の問に答えよ。
(1)優勝が決まるまでにBチームが少なくとも1勝する確率を求めよ。
(2)3試合目または4試合目で優勝が決まる確率を求めよ。
(3)1試合目でAチームが勝ち、Aチームが優勝する確率を求めよ。