2018-09-10

京都大学 2018 理系第2問(整数の性質)

整数の性質問題

問題

$n^3-7n+9$ が素数となるような整数nをすべて求めよ。

解答

具体例を出す

「素数といえばこの公式がある！」って思いつく式はなく、とっつきにくい問題かもしれません。

答えに結びつくかは分かりませんが、とりあえずnに適当な数を代入して、具体例をいくつか出してみましょう。

$f(n)=n^3-7n+9$ とおいて、

$f(-1)=(-1)^3-7\times(-1)+9=15$

$f(0)=0^3-7\times0+9=9$

$f(1)=1^3-7\times1+9=3$

$f(2)=2^3-7\times2+9=3$

$f(3)=3^3-7\times3+9=9$

具体例を5つ出しました。

この5つの計算結果を見て、何か法則がないかを探します。5つともすべて3の倍数になっていますね。たまたまではなく、きっとどんなnを代入しても3の倍数になるのでしょう。今からそれを証明しにいきます。

$f(n)$ が3の倍数であることの証明

「3の倍数であることを示せ」と言われると、これをしておけば間違いないという解法があります。

整数kをつかって、 $n=3k-1$ , $n=3k$ , $n=3k+1$ と分類し、それぞれで3の倍数であることを証明するのです。

実際にやってみましょう。

$\begin{eqnarray}f(3k-1)&=&(3k-1)^3-7(3k-1)+9\\&=&(27k^3-27k^2+9k-1)-(21k-7)+9\\&=&27k^3-27k^2-12k+15\\&=&3(9k^3-9k^2-4k+5)\end{eqnarray}$

$\begin{eqnarray}f(3k)&=&(3k)^3-7(3k)+9\\&=&27k^3-21k+9\\&=&3(9k^3-7k+3)\end{eqnarray}$

$\begin{eqnarray}f(3k+1)&=&(3k+1)^3-7(3k+1)+9\\&=&(27k^3+27k^2+9k+1)-(21k+7)+9\\&=&27k^3+27k^2-12k+3\\&=&3(9k^3+9k^2-4k+1)\end{eqnarray}$

これで $f(n)$ が3の倍数であることが証明されました。

$f(n)$ が素数なので...

$f(n)$ は素数であり、先ほど証明したように3の倍数です。

$f(n)$ の値は3であることがわかります。

3次方程式 $f(n)=n^3-7n+9=3$ を解く

$n^3-7n+6=0$

n=1を代入したとき、この等式が成り立っていることがわかります。剰余の定理より、 $n^3-7n+6=0$ は $(n-1)$ を因数に持ちます。因数分解したときに $(n-1)$ が入ってくるということです。割り算をしてみると、

$n^3-7n+6\div(n-1)\\=n^2+n-6\\=(n+3)(n-2)$

となります。よって、 $n^3-7n+6$ を因数分解すると、

$n^3-7n+6=(n+3)(n-1)(n-2)$

ゆえに、 $n^3-7n+6=0$ を解くと、 $n=-3, 1, 2$ となります。

まとめ

いかがだったでしょうか？この問題を解くポイントは2つありました。

1つ目は、いくつかの具体例を出してみるところでした。このおかげで $f(n)$ が3の倍数であることがわかりました。

2つ目は、 $f(n)$ が3の倍数であることを証明するとき、整数kをつかって $n=3k-1, 3k, 3k+1$ と分類するところでした。

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2018-09-10

岡山大学 2011 文系第2問 (漸化式+整数)

数列問題整数の性質問題

問題

数列{ $a_n$ }が次のように帰納的に定められている。 $(n=1, 2, 3, ...)$
$\begin{eqnarray}a_{n+1}=\left\{\begin{array}\\2a_n &(nが奇数のとき)\\a_n+1 &(nが偶数のとき)\end{array}\right.\ \end{eqnarray}$
(1) $a_{10}$ を求めよ。
(2)nが奇数の場合と偶数の場合それぞれについて、 $a_{n+4}$ を $a_n$ で表せ。
(3) $a_n$ を3で割ったときの余りを求めよ。

解答

ゴリ押しできるならゴリ押して解く(問題(1))

シュッとした綺麗な解答例はあるかもしれません(自分は見つけられませんでした)。
しかし、 $a_{10}$ くらいなら $a_2$ から順番に計算していくこともできそうです。
少し面倒ですが、計算ゴリ押しできるならゴリ押しで解いてしまいましょう。
$a_1=0$ , $a_2=2{a_1}=0$ ,
$a_3=a_2+1=1$ , $a_4=2{a_3}=2$ ,
$a_5=a_4+1=3$ , $a_6=2{a_5}=6$ ,
$a_7=a_6+1=7$ , $a_8=2{a_7}=14$ ,
$a_9=a_8+1=15$ , $a_{10}=2{a_9}=30$

ゴリ押しできるならゴリ押して解く(問題(2))

同じ見出しをつけてしまいましたが、この問題もただひたすらに計算するだけです。
nが偶数のときと奇数のときで場合分けするのを忘れないようにしましょう。
(i) nが偶数のとき
$\begin{eqnarray}a_{n+4}&=&2a_{n+3}=2(a_{n+2}+1)=2a_{n+2}+2\\&=&2\cdot2a_{n+1}+2=4a_{n+1}+2\\&=&4(a_n+1)+2=4a_n+6\end{eqnarray}$

(ii) nが奇数のとき
$\begin{eqnarray}a_{n+4}&=&a_{n+3}+1=2a_{n+2}+1\\&=&2(a_{n+1}+1)+1=2a_{n+1}+3\\&=&2\cdot2a_n+3=4a_n+3\end{eqnarray}$

「3で割った余り」をどうやって式に表すか(問題(3))

例えば、25を3で割った余りを求めなさい、と言われたら、こんな記事を読んでいるあなたはすぐに求めることができるでしょう。
$25=3\times8+1$ と変形できるので、25を3で割った余りは1です。
これと全く同じ手法で解いていきます。
問題(2)が誘導になっていて、問題(2)の結果を使います。
まずはnが偶数のときから。
$a_{n+4}=4a_n+6=3(a_n+2)+a_n$
nが奇数のとき、
$a_{n+4}=4a_n+3=3(a_n+1)+a_n$
よって、nが偶数でも奇数でも、 $a_{n+4}$ を3で割った余りは $a_n$ となります。
この法則を例えば $a_9$ につかうと、
$a_9$ を3で割った余りは $a_5$ 、 $a_5$ を3で割った余りは $a_1$ となり、結果的に $a_9$ を3で割った余りは $a_1$ となることがわかります。
あとは答えをまとめるだけですね。
kを整数として、
$a_{4k}$ を3で割った余りは $a_4=2$
$a_{4k+1}$ を3で割った余りは $a_1=0$
$a_{4k+2}$ を3で割った余りは $a_2=0$
$a_{4k+3}$ を3で割った余りは $a_3=1$
となります。

まとめ

いかがだったでしょうか。漸化式と整数の性質を織り交ぜた問題でした。
問題(1)(2)は基礎問題なので解けるようにしたいところですね。
問題(3)は3で割った余りをどうやって式で表すかを思い出せれば解けそうです。
受験数学としては比較的簡単な問題なので、途中で引っかかったところのある人は教科書や参考書を見直してみましょう。

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